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Mathématiques

Le Volume de la Pyramide en 4ème

d'après la méthode de découpage d'Euclide

augmentée d'une  étude nouvelle par le calcul numérique

 

pyramide partage5

L'étude historique des contributions des mathématiciens grecs et chinois montrent une même volonté de promouvoir le découpage de la pyramide comme moyen d'établir son volume.


Vous trouverez ces approches historiques du volume de la pyramide dans le livre Des mathématiques éclairées par l'histoire : des arpenteurs aux ingénieurs (Vuibert ADAPT-Edition 2012), au chapitre V, Le volume de la pyramide chez Euclide, Liu Hui, Cavalieri et Legendre.

Pour les deux premiers mathématiciens, c'est un partage utilisant les milieux des arêtes de la pyramide qui va permettre d'élaborer la démonstration. Chez Liu Hui, comme on peut le retrouver dans le Livre des Neuf Chapitres de Karine Chemla, le partage se fait sur une pyramide à base carrée ou rectangulaire, dont une des arêtes est un hauteur. Pour les deux derniers cités, c'est un découpage par des plans parallèles à la base, donnant soit des surfaces, soit des prismes de même forme empilés (ce qui est illustré par la construction des pyramides égyptiennes ou aztèques).


Euclide, au livre XII proposition 3, traite de l'étude d'une pyramide à base triangulaire, un tétraèdre quelconque.

Cet objet permet par composition de générer toutes les pyramides à base polygonale, et par  généralisation le cône.

Plusieurs méthodes exposent comment démontrer la formule du volume de la pyramide.

Les difficultés sont de deux ordres :

- la démonstration d'Euclide est une démonstration géométrique (proposition 7). Elle n'est pas si facile d'accès à un élève de collège. Elle repose sur la comparaison des pyramides de même base et même hauteur.

- une autre démonstration existe par le calcul littéral mais elle suppose déjà démontré que pour une pyramide, le volume d'une pyramide réduite à l'échelle ½ est le huitième du volume de la pyramide initiale. Cette propriété est supposée pour la pyramide, parce qu'elle est connue pour le prisme. Alors même qu'il n'a pas été établi de relation de proportionnalité entre les volumes de la pyramide et du prisme, puisque c'est cette proportionnalité qui est recherchée. Cependant, par cette démarche, on établit la relation entre les volumes par une résolution d'équation : c'est assez complexe.

La méthode d'Euclide :

Euclide explique par un découpage subtil mais identique, réitéré de la même manière à l'infini, comment comparer les volumes de deux pyramides de même  aire de base et de même hauteur. Il montre ainsi que les volumes des deux pyramides sont égaux, les découpages étant de même volumes, car ils utilisent des prismes équivalents deux à deux.

Vous trouverez dans cette page les ressources pour partager avec vos élèves cette expérience, construite directement pour eux (niveau 4ème). Elles visent à faire utiliser des outils simples de base de 5è et de 4è : le partage en 2 des longueurs, le partage en 4 des surfaces, le partage en 8 des volumes. En 6ème (voir brochure Enseigner par les grandeurs en sixième : LES VOLUMES), le partage du cube et du parallélépipède rectangle sont étudiés. Le partage du prisme en 5ème en est le complément direct et la clé de la pyramide.

Les fichiers sont à visualiser avec Geoplangeospace * , ou Carmetal*

Etape 1 : Le symétrique d'un triangle par rapport aux milieux de chacun de ses côtés et le partage du prisme en 5ème.

Symétriques_triangle_milieux_côtés.zir

Prisme_partage8.g3w

Prisme_5ème_partager-en-8.pdf

prisme unitaire prisme partage


Etape 2 : Le partage du triangle par les milieux des côtés en 4ème, démonstration du résultat précédent. On en connait maintenant de multiples prolongements tels que le triangle de Serpinski.

Triangle_milieux_partage4.zir [sous Carmetal]

3triangles_mêmesommet_milieux.zir

Etape 3 une méthode ancienne renouvelée : Le découpage de la pyramide, la méthode d'Euclide, une combinaison des deux étapes précédentes étendue à la pyramide.

Pyeuclide1.g3w

Pyeuclide2.g3w

Etape 4 un calcul nouveau pour la pyramide mis à la portée des élèves : Le dénombrement des prismes, le calcul de leurs volumes, la justification de l'atteinte du volume de la pyramide par une somme de prisme, la majoration du reste par un prisme identifiable. Cette nouvelle démarche applique les calculs fractionnaires, qu'Euclide a choisi de ne pas mettre en oeuvre. C'est en ce sens une innovation au coeur du programme de mathématiques du collège .

Pyramide_euclide.xls ou Pyramide_euclide.ods

Etape 5 : La généralisation géométrique

Pylegendre.g3w

Pycavalieri.g3w

pyramide partage1

pyramide partage 3


  • Les fichiers sont accompagnés des touches de commandes, détaillés dans Volume_pyramide_fichiers_geospace_commandes.pdf


* Carmetal http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/telechargement.html

* GeoplanGeospace http://www.aid-creem.org/telechargement.html